当今时代，人们的压力越来越大，迷茫不可避免。网上也流传着一个最火的说法：迷茫就是因为才华配不上梦想”。虽然略显鸡汤，却也不无道理。不过，更确切地解释应该是：迷茫，是因为你只站在原地瞎想。毕竟，想，都是问题；做，才是答案。
做，尤其做决定时人们往往会经历两个阶段：一是做决定前的思考阶段，一是做决定后悔恨、无奈的阶段。事实证明，这两个阶段正好成反比。也就是说，你用于思考的时间越少，你的悔恨无奈就越多，反之亦然。
有一个父亲过世之后，只留给儿子一幅古画，儿子看了十分失望，正要把画束之高阁，突然觉得画的卷轴似乎异常的重，他撕开一角，惊奇地发现不少金块藏在其间，于是立刻把画撕破，取出了金子。然后他又看到卷轴中藏有一张字条，写着画是古代名家所绘的无价之宝。可惜画已经在他冲动之下撕得破碎不堪了。
许多人做决定时最常说的话就是：“做了再说！”“唉，船到桥头自然直！”虽然说任何决定的意义都取决于自己的价值观和人生需求，但这却不代表我们可以凭情绪随便行动。
人生有很多抉择，都是在过急的情况下出错的。因此，做决定前，请给自己一分钟做最后的检查、比较和判断，或许，你会发现新的盲点。所谓“三思而后行”，说的就是这个道理。
当我们面对时刻变化着、发展着的世界时，对事物的认识可能会出现一些错误。因此，我们经常会遇到因考虑不周、鲁莽行动而造成损失的情况，所以，我们遇事才要“三思而后行”，这是老祖宗留给我们的最好的智慧。
在一元一次方程的相关知识的学习中，应通过典型的问题题，尤为解带分母一元一次方程需要注意的步骤，能够突出分数线的括号作用、乘法分配律的漏乘问题、等是基本性质的漏乘问题。
要求学生能够在错误中总结，在困难中寻找解决方法，增加了学生的成就感和继续探究的热情。
知识要点
1．概念：
（1）方程：含有未知数的等式.
注意：①方程是等式②方程中必须有字母.
（2）方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值.
所以在检验一个数是否是方程的解时，把这个人数代入方程的左右两边，看看左右是否相等，如果，左边＝右边，则是方程的解，反之，就不是该方程的解
（3）一元一次方程：只含有一个未知数（元），并且含有未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程．
注意：①含有一个未知数；②未知数的次数是1；③方程两边的代数式都是整式；④未知数的系数不能为0.
2．变形规律：
（1）利用等式性质：①方程的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得方程与原方程同解.
②方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程与原方程同解.
（2）移项法则：方程中的任何一项都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边.
3．解方程的一般步骤：
在解具体方程时应灵活运用解一元一次方程的一般步骤，决不能生搬硬套，同时应根据方程的结构特点，注意技巧的运用.注意移项时的符号变化；注意去分母时分数线起着括号作用；去括号的依据是分配律和去括号法则，注意不要漏乘括号内的每一项；若括号前面是“－”号，记住去括号时括号内各项都要改变符号.
4．列方程解应用题的步骤：
①审：弄清题意与题目中的数量关系；
②设：用字母表示题目中的一个未知数；
③找：找出一个能表示应用题全部含义的一个相等关系；
④列：据相等关系列出一元一次方程；
⑤解：解所列方程，求出未知数的值；
⑥答：检验并写出答案.
常见的数量关系归纳
1.和、差、倍、分问题：
（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现.
（2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现.
2.等积变形问题：
形状面积变了，周长没变；原料体积＝成品体积.
3.劳力调配问题：
这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：
（1）既有调入又有调出；
（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；
（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。
4.数字问题：
（1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9），则这个三位数表示为a+10b+c.
（2）数字问题中一些表示：偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示.
5.工程问题：工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率×工作时间。
6.行程问题：
（1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程=速度×时间.
（2）基本类型：相遇问题，追及问题；常见的还有：相向而行；行船问题；环形跑道问题等.
7.商品销售问题：
商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价，
商品利润率=商品利润/商品进价，商品售价=商品标价×折扣率。
8.储蓄问题
⑴顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率.利息的20%付利息税。
⑵利息=本金×利率×期数，本息和=本金+利息，利息税=利息×税率（20%）。
注意：“设”与“答”两步必须写清单位名称．
解决实际问题时，应根据题意灵活设元，注意检验方程的解是否符合实际意义。在具体列方程解决实际题时审题是基础，列方程是关键，找相等关系是难点；因此，应注意找准题目中的相等关系，可以借助于线段、表格、图形等方法进行分析.
典型问题
例1．（桥西区校级模拟）已知m＝n，下列等式不成立的是（ ）
A．m+n＝2mB．m﹣n＝0
C．m﹣2x＝n﹣2xD．2m﹣3n＝5n
根据等式的性质即可解答．
：A、在等式m＝n的两边同时加上m得：m+m＝n+m，即m+n＝2m，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、在等式m＝n的两边同时减去n得：m﹣n＝0，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、在等式m＝n的两边同时减去2x得：m﹣2x＝n﹣2x，原变形正确，故此选项不符合题意；
D、在等式m＝n的两边同时乘2，再加上3n得：2m+3n＝2n+3n，即2m+3n＝5n，原变形错误，故此选项符合题意．
故选：D．
变式1．（镇海区校级二模）下列等式变形：（1）如果ax＝ay，那么x＝y；
（2）如果a+b＝0，那么a2＝b2；（3）如果
a
＝
b
，那么a＝b；
变式2．（石家庄模拟）能运用等式的性质说明如图事实的是（ ）
A．如果a+c＝b+c，那么a＝b（a，b，c均不为0）
B．如果a＝b，那么a+c＝b+c（a，b，c均不为0）
C．如果a﹣c＝b﹣c，那么a＝b（a，b，c均不为0）
D．如果a＝b，那么ac＝bc（a，b，c均不为0）
根据等式的性质解答即可．观察图形，是等式a+c＝b+c的两边都减去c（a，b，c均不为0），利用等式性质1，得到a＝b，即如果a+c＝b+c，那么a＝b（a，b，c均不为0）．故选：A．
变式3．（新昌县二模）有8个球编号是①至⑧，其中有6个球一样重，另外两个都轻1克，为了找出这两个轻球，用天平称了三次：第一次①+②比③+④重，第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻，第三次①+③+⑤和②+④+⑧一样重．那么，两个轻球的编号是（ ）
A．③④B．③⑥C．③⑤D．④⑤
∵①+②比③+④重，∴③与④中至少有一个轻球，
∵⑤+⑥比⑦+⑧轻，∴⑤与⑥至少有一个轻球，
∵①+③+⑤和②+④+⑧一样重可知两个轻球的编号是④⑤．
故选：D．
例2．（十堰中考题）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（ ）
A．10x+3（5﹣x）＝30B．3x+10（5﹣x）＝30
设清酒x斗，则醑酒（5﹣x）斗，
由题意可得：10x+3（5﹣x）＝30，故选：A．
变式1．（随州中考题）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”意思是：“跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？”若设快马x天可以追上慢马，则可列方程为（ ）
A．（12+x）＝xB．（12+x）＝x
C．（x﹣12）＝xD．（x﹣12）＝x
设快马x天可以追上慢马，根据路程＝速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．设快马x天可以追上慢马，
依题意，得：（x+12）＝x．故选：A．
变式2．（岳阳中考题）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中，城中人家的户数为（ ）
A．25B．75C．81D．90
变式3．（河北中考题）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为斤，设每块条形石的重量是x斤，则正确的是（ ）
A．依题意3×＝x﹣
B．依题意20x+3×＝（20+1）x+
C．该象的重量是斤
D．每块条形石的重量是斤
由题意得出等量关系为：
20块等重的条形石的重量+3个搬运工的体重和＝21块等重的条形石的重量+1个搬运工的体重，
∵已知搬运工体重均为斤，设每块条形石的重量是x斤，
∴20x+3×＝（20+1）x+，
∴A选项不正确，B选项正确；
由题意：大象的体重为20×+＝斤，∴C选项不正确；
由题意可知：一块条形石的重量＝2个搬运工的体重，
∴每块条形石的重量是斤，∴D选项不正确；
综上，正确的选项为：B．故选：B．
例3．（德宏州模拟）若x＝﹣3是一元一次方程2（x+k）＝5（k为实数）的解，则k的值是（ ）
本题主要考查了方程解的定义，已知x＝﹣3是方程的解实际就是得到了一个关于k的方程．
：根据题意把x＝﹣3代入方程2（x+k）＝5，
得：2（﹣3+k）＝5，解得：k＝11/2．故选：D．
变式2．（春封丘县月考）对于两个不相等的有理数m，n，我们规定符号max{m，n}表示m，n两数中较大的数，例如max{5，﹣2}＝5．按照这个规定，方程max{x，﹣x}＝3x+2的解为（ ）
A．x＝﹣1B．x＝﹣1/2
C．x＝1D．x＝﹣1或x＝﹣1/2
分x＞﹣x和x＜﹣x两种情况，得到两个方程，分别求解即可．
：当x＞﹣x时，即x＞0，
max{x，﹣x}＝x，∴x＝3x+2，解得：x＝﹣1，
∵x＞0，∴x＝﹣1不符合条件，舍去，
当x＜﹣x时，即x＜0，
max{x，﹣x}＝﹣x，∴﹣x＝3x+2，解得：x＝﹣1/2，
∵x＝﹣1/2＜0，∴x＝﹣1/2满足条件，故选：B．
变式3．（春长沙期中）规定关于x的一元一次方程ax＝b的解为b﹣a，则称该方程是“郡园方程”，例如：3x＝4.5的解为4.5﹣3＝1.5，则该方程3x＝4.5就是“郡园方程”．
（1）若关于x的一元一次方程2x＝m是“郡园方程”，求m的值；
（2）若关于x的一元一次方程2x＝ab+a是“郡园方程”，它的解为a，求a，b的值；
（3）若关于x的一元一次方程2x＝mn+m和﹣2x＝mn+n都是“郡园方程”，
例4．（马鞍山二模）某奶茶店的一款主打奶茶分为线上和线下两种销售模式，消费者从线上下单，每次可使用“满30减28”消费券一张（线下下单没有该消费券），同规格的一杯奶茶，线上价格比线下高20%，外卖配送费为4元/次，订单显示用券后线上一次性购买6杯实际支付金额和线下购买6杯支付金额一样多，求该款奶茶线下销售价格．
设该款奶茶线下销售价格为x元/杯，则线上销售价格为（1+20%）x元/杯，根据用券后线上一次性购买6杯实际支付金额和线下购买6杯支付金额一样多，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
：设该款奶茶线下销售价格为x元/杯，则线上销售价格为（1+20%）x元/杯，
依题意得：6×（1+20%）x﹣28+4＝6x，
解得：x＝20．
答：该款奶茶线下销售价格为20元/杯．
变式1．（秋沙坡头区校级期末）列方程解应用题
元旦期间，七（1）班的小明、丽丽等同学随家长一同到某公园游玩．下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息解答下列问题：
（1）小明他们一共去了几个成人，几个学生？
（2）请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？说明理由．
（3）买完票后，小明发现七（2）班的张小涛等8名同学和他们的12名家长共20人也来买票，请你为他们设计出最省的购票方案，并求出此时的买票费用．
购买专栏解锁剩余40%